Question

已知∠AOB=90°，C为空间中一点，且∠AOC=∠BOC=60°，则直线OC与平面AOB所成角的正弦值为

 

．

Answer 1

分析：由对称性点C在平面AOB内的射影D必在∠AOB的平分线上，作DE⊥OA于E，根据线面所成角的定义可知∠COD为直线OC与平面AOB所成角，在三角形COD中求解此角即可．

解答：解：由对称性点C在平面AOB内的射影D必在∠AOB的平分线上
作DE⊥OA于E，连接CE则由三垂线定理CE⊥OE，
设DE=1?OE=1，OD=

2

，又∠COE=60°，CE⊥OE?OC=2，
所以CD=

OC2-OD2

=

2

，
因此直线OC与平面AOB所成角的正弦值sin∠COD=

2

2

．

点评：本题主要考查了直线与平面所成角，以及三垂线定理，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．