Question

在平面直角坐标系中，已知三个点列{A_n}，{B_n}，{C_n}，其中A_n（n，a_n），B_n（n，b_n），C_n（n-1，0），满足向量与向量共线，且点列{B_n}在斜率为6的直线上，n=1，2，3，…．
（Ⅰ）证明数列{b_n}是等差数列；
（Ⅱ）试用a₁，b₁与n表示a_n（n≥2）；
（Ⅲ）设a₁=a，b₁=-a，在a₆与a₇两项中至少有一项是数列{a_n}的最小项，试求实数 a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）因为点列{B_n}在斜率为6的直线上，利用斜率公式即可得数列{b_n}的递推公式，进而由等差数列的定义证明数列{b_n}是等差数列；
（II）由已知向量与向量共线，知直线A_nA_n+1与直线B_nC_n的斜率相等，利用斜率公式即可得数列{b_n}与数列{a_n}的递推关系，最后利用累加法和等差数列的前n项和公式即可得；
（III）将数列{a_n}的通项公式用a表示，发现其函数模型为二次函数，在a₆与a₇两项中至少有一项是数列{a_n}的最小项，则确定了对称轴的范围，从而解得a的范围
解答：解：（Ⅰ）点列{B_n}在斜率为6的直线上，有 
故数列{b_n}是公差为6的等差数列．                        
（Ⅱ）由向量与向量共线，得直线A_nA_n+1与直线B_nC_n的斜率相等
即，
∴
∴b_n=a_n+1-a_n=b₁+6（n-1）
∴=
∴a_n=3n²+（b₁-9）n+6+a₁-b₁（n≥2）
（Ⅲ）由已知和（Ⅱ）可得  a_n=3n²-（a+9）n+6+2a（n≥2）
设二次函数f（x）=3x²-（a+9）x+6+2a，f（x）是开口方向向上的抛物线
又∵在a₆与a₇两项中至少有一项是数列{a_n}的最小项，则对称轴为在区间[]内，
即
∴24≤a≤36
点评：本题考查了等差数列的定义、通项公式、前n项和公式的应用，累加法求数列的通项公式，数列的函数性质