Question

（2013•怀化二模）对于定义域和值域均为[0，1]的函数f（x），定义f₁（x）=f（x），f₂（x）=f（f₁（x）），…，f_n（x）=f（f_n-1（x）），n=1，2，3，…满足f_n（x）=x的点称为f的n阶周期点．设f(x)=

2x     (0≤x≤ 1 2 ) 2-2x  ( 1 2 ＜x≤1)

，则（1）方程f（x）=x的正根是

2

3

；（2）f的2阶周期点的个数是

4

．

Answer 1

分析：本题考查的知识点是归纳推理，方法是根据已知条件和递推关系，先求出f的1阶周期点的个数，2阶周期点的个数，然后总结归纳其中的规律，f的n阶周期点的个数．

解答：解：（1）当0≤x≤

1

2

，方程f（x）=x 即 2x=x，解得 x=0，故方程没有正实数根．
当

1

2

＜x≤1，方程f（x）=x 即 2-2x=x，解得x=

2

3

．
综上可得，方程f（x）=x的正根是

2

3

，
故答案为

2

3

．
（2）当x∈[0，

1

2

]时，f₁（x）=2x=x，解得x=0；
当x∈（ 

1

2

，1]时，f₁（x）=2-2x=x，解得x=

2

3

．
∴f的1阶周期点的个数是2．
当x∈[0，

1

4

]时，f₁（x）=2x，方程f₂（x）=x，即4x=x，解得x=0．
当x∈（ 

1

4

，

1

2

]时，f₁（x）=2x，方程f₂（x）=x，即2-4x=x，解得x=

2

5

．
当x∈（ 

1

2

，

3

4

]时，f₁（x）=2-2x，方程f₂（x）=x，即-2+4x=x，解得x=

2

3

．
当x∈（ 

3

4

，1]时，f₁（x）=2-2x，方程f₂（x）=x，即4-4x=x，解得x=

4

5

．
∴f的2阶周期点的个数是2²=4，
故答案为 4．

点评：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．