Question

如图，线段AB的两个端点A、B分别分别在x轴、y轴上滑动，|AB|=5，点M是AB上一点，且|AM|=2，点M随线段AB的运动而变化．
（1）求点M的轨迹方程；
（2）设F₁为点M的轨迹的左焦点，F₂为右焦点，过F₁的直线交M的轨迹于P，Q两点，求S△PQF2的最大值，并求此时直线PQ的方程．

Answer 1

分析：（1）利用代入法，即可求点M的轨迹方程；
（2）直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理，可得S△PQF2，换元，利用基本不等式，即可求面积的最大值，从而求此时直线PQ的方程．

解答：解：（1）由题可知AM=

2

5

AB，且可设A（x₀，0），M（x，y），B（0，y₀），
则可得x0=

5

3

x，y0=

5

2

y，
又|AB|=5，即x02+y02=25，∴

x2

9

+

y2

4

=1，这就是点M的轨迹方程．
（2）由（1）知F₁为（-

5

，0），F₂为（

5

，0），
由题设PQ为x=my-

5

，
直线方程代入椭圆方程，可得（4m²+9）y²-8

5

my-16=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则△＞0恒成立，y1+y2=

8 5 m

4m2+9

且y1y2=

-16

4m2+9

，
∴S△PQF2=

1

2

|F1F2|(|y1|+|y2|)=

5

|y1-y2|=24

5

•

m2+1

4m2+9

令t=

m2+1

（t≥1），则S△PQF1=24

5

•

1

4t+ 5 t

≤6，
当且仅当t=

5

2

，即m=±

1

2

时取“=”
∴S△PQF2的最大值为6，
此时PQ的方程为2x+y-2

5

=0或2x-y-2

5

=0．

点评：本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，考查基本不等式的运用，属于中档题．