已知平面直角坐标系xoy中.以O为极点.x轴的正半轴为极轴.建立极坐标系.曲线C1方程为ρ=2sinθ,C2的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$．(Ⅰ)写出曲线C1的直角坐标方程和C2的普通方程,(Ⅱ)设点P为曲线C1上� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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20．已知平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C₁方程为ρ=2sinθ；C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数）．
（Ⅰ）写出曲线C₁的直角坐标方程和C₂的普通方程；
（Ⅱ）设点P为曲线C₁上的任意一点，求点P 到曲线C₂距离的取值范围．

分析（I）直接利用极坐标与直角坐标互化求出C₁的直角坐标方程，C₂的普通方程．
（II）求出C₁为以（0，1）为圆心，r=1为半径的圆，利用圆心距推出距离的最值得到范围即可．

解答（本小题满分10分）
解：（I）曲线C₁方程为ρ=2sinθ，可得ρ²=2ρsinθ，可得x²+y²=2y，
∴C₁的直角坐标方程：x²+（y-1）²=1，
C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$，消去参数t可得：
C₂的普通方程：$\sqrt{3}x-y+\sqrt{3}=0$．…（4分）
（II）由（I）知，C₁为以（0，1）为圆心，r=1为半径的圆，C₁的圆心（0，1）到C₂的距离为$d=\frac{{|{-1+\sqrt{3}}|}}{{\sqrt{3+1}}}=\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}＜1$，则C₁与C₂相交，P到曲线C₂距离最小值为0，最大值为$d+r=\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}$，
则点P到曲线C₂距离的取值范围为$[{0，\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}}]$．…（10分）

点评本题考查极坐标与直角坐标方程的互化，参数方程与直角坐标方程的互化，考查计算能力．

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