Question

17．设数列{a_n}的首项为1，前n项和为S_n，且S_n+1=n²+a_n+1（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=a_n•2${\;}^{{a}_{n}}$，Tn是数列{b_n}的前n项和，求T_n．

Answer 1

分析 （1）通过S_n+1=n²+a_n+1可知S_n=n²，利用当n≥2时a_n=S_n-S_n-1计算，进而可得结论；
（2）通过（1）、利用错位相减法计算即得结论．

解答 解：（1）∵S_n+1=n²+a_n+1，
∴S_n=n²，
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1
=n²-（n-1）²
=2n-1，
又∵a₁=1满足上式，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=2n-1；
（2）由（1）可知b_n=（2n-1）•2^2n-1，
∴T_n=1•2+3•2³+5•2⁵+…+（2n-1）•2^2n-1，
4T_n=1•2³+3•2⁵+…+（2n-3）•2^2n-1+（2n-1）•2²ⁿ⁺¹，
两式错位相减得：-3T_n=2+2（2³+2⁵+…+2^2n-1）-（2n-1）•2²ⁿ⁺¹
=2+2•$\frac{{2}^{3}（1-{2}^{2n-2}）}{1-{2}^{2}}$-（2n-1）•2²ⁿ⁺¹
=-$\frac{10}{3}$-$\frac{6n-5}{3}$•2²ⁿ⁺¹，
∴T_n=$\frac{10}{9}$+$\frac{6n-5}{9}$•2²ⁿ⁺¹．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查错位相减法，注意解题方法的积累，属于中档题．