Question

为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．今年暑假我校学生公寓建造了可使用15年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为4万元．学生公寓每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=

k

2x+3

(0≤x≤10，若不建隔热层，每年能源消耗费用为10万元．设f（x）为隔热层建造费用与15年的能源消耗费用之和．
（1）求k的值及f（x）的表达式；
（2）我校做到了使总费用f（x）达到最小，请你计算学生公寓隔热层修建的厚度和总费用的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据不建隔热层，每年能源消耗费用为10万元．我们可得C（0）=10，得k=30，进而得到C（x）的解析式，建造费用为C₁（x）=4x，则根据隔热层建造费用与15年的能源消耗费用之和为f（x），从而得到f（x）的表达式．
（2）由（1）中所求的f（x）的表达式，我们利用导数法，求出函数f（x）的单调性，然后根据函数单调性易求出总费用f（x）的最小值．

解答：解：（1）由题意，当x=0，C（x）=10，代入C（x）=

k

2x+3

，得k=30．…（3分）
所以f（x）=4x+15C（x）=4x+

450

2x+3

（0≤x≤10）…（6分）
（2）f（x）=4x+

450

2x+3

=4x+6+

450

2x+3

-6
=2（2x+3）+

450

2x+3

-6≥2

2(2x+3)• 450 2x+3

-6=54…（10分）
等号成立当且仅当2（2x+3）=

450

2x+3

即x=6．…（12分）
因此隔热层修建6 cm时，总费用f（x）达到最小，最小值为54元．…（13分）
f′（x）=4-

900

(2x+3)2

=

16(x+9)(x-6)

(2x+3)2

，当x=6时f′（x）=0…（14分）

点评：本题主要考查了函数模型的选择和应用，在解决函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，属于中档题．