Question

已知单调递增的等比数列{a_n}满足：a₂+a₄=20，a₃=8；
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若bn=anlog

1

2

an，数列{b_n}的前n项和为S_n，求S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立的正整数n的最小值．

Answer 1

分析：（1）直接把条件用首项和公比表示出来，求出首项和公比即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）先求数列{b_n}的通项公式及前n项和为S_n，再代入S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50整理即可求出S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立的正整数n的最小值．

解答：解：（1）设等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q，
依题意，有

a1q+a1q3 =20 a3=a1q2=8

，解之得

q=2 a1=2

或

q= 1 2 a1=32

；（4分）
又{a_n}单调递增，∴

q=2 a1=2

，
∴a_n=2ⁿ．（6分）
（2）依题意，bn=2n•log

1

2

2n=-n•2n，（8分）
∴-S_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ①，
∴-2S_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）×2ⁿ+n2ⁿ⁺¹②，
∴①-②得S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1=2n+1-n•2n+1-2；（10分）
∴S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50即为2ⁿ⁺¹-2＞50，∴2ⁿ⁺¹＞52，
∵当n≤4时，2ⁿ⁺¹≤2⁵=32＜52．
∴使S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立的正整数n的最小值为5．（12分）

点评：本题考查数列与函数的综合以及数列与不等式的综合．在第二问中涉及到数列求和的错位相减法．错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列．