Question

1．如图，棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是BC的中点，F是棱CD上的动点，G为C₁D&₁的中点，H为A₁G的中点．
（1）当点F与点D重合时，求证：EF⊥AH；
（2）设二面角C₁-EF-C的大小为θ，试确定F点的位置，使得cosθ=$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 （1）以A为会标原点，建立如图所示的直角坐标系，求出相关点的坐标，设F（x，1，0）（0≤x≤1），通过证明$\overrightarrow{AH}•\overrightarrow{EF}=0$，证明EF⊥AH．
（2）设$\overrightarrow{v}$=（a，b，c）是平面C₁EF的法向量，利用$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{v}•\overrightarrow{{C}_{1}E}=-\frac{1}{2}b-C=0\\ \overrightarrow{v}•\overrightarrow{EF}=（x-1）a+\frac{1}{2}b=0\end{array}\right.$求出平面C₁EF的一个法向量$\overrightarrow{v}=（\frac{1}{x-1}，-2，1）$，$\overrightarrow{A{A_1}}=（0，0，1）$是平面EFC的一个法向量通过向量的数量积求解即可．

解答 解：以A为会标原点，建立如图所示的直角坐标系，
则A₁（0，0，1），${C_1}（1，1，1），D（0，1，0），E（1，\frac{1}{2}，0），G（\frac{1}{2}，1，1），H（\frac{1}{4}，\frac{1}{2}，1）$
设F（x，1，0）（0≤x≤1）
（1）易知F（0，1，0），$\overrightarrow{AH}=（\frac{1}{4}，\frac{1}{2}，1），\overrightarrow{EF}=（-1，\frac{1}{2}，0）$，
∴$\overrightarrow{AH}•\overrightarrow{EF}=0$，
∴EF⊥AH
（2）易知$\overrightarrow{{C_1}E}=（0，-\frac{1}{2}，-1），\overrightarrow{EF}=（x-1，\frac{1}{2}，0）$，且x≠1
设$\overrightarrow{v}$=（a，b，c）是平面C₁EF的法向量，则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{v}•\overrightarrow{{C}_{1}E}=-\frac{1}{2}b-C=0\\ \overrightarrow{v}•\overrightarrow{EF}=（x-1）a+\frac{1}{2}b=0\end{array}\right.$
令c=1，则平面C₁EF的一个法向量$\overrightarrow{v}=（\frac{1}{x-1}，-2，1）$
又$\overrightarrow{A{A_1}}=（0，0，1）$是平面EFC的一个法向量，∴$cos＜\overrightarrow{v}，\overrightarrow{A{A}_{1}}＞=\frac{\overrightarrow{v}•\overrightarrow{A{A}_{1}}}{|\overrightarrow{v}||\overrightarrow{A{A}_{1}}|}=\frac{1}{\sqrt{{（\frac{1}{x-1}）}^{2}+5}}$，
结合条件知可取$cosθ=cos＜v，\overrightarrow{A{A_1}}＞$，
故$\frac{1}{{\sqrt{{{（\frac{1}{x-1}）}^2}+5}}}=\frac{1}{3}$，解得$x=\frac{1}{2}$或$x=\frac{3}{2}$（舍）
故当F是CD的中点时，$cosθ=\frac{1}{3}$．

点评 本题考查二面角的平面角的应用，空间向量的数量积证明直线与直线垂直关系，考查空间想象能力以及计算能力．