Question

（1）已知矩阵M

2 -3 1 -1

所对应的线性变换把点A（x，y）变成点A′（13，5），试求M的逆矩阵及点A的坐标．
（2）已知直线l：3x+4y-12=0与圆C：

x=-1+2cosθ y=2+2sinθ

（θ为参数 ）试判断他们的公共点个数；
（3）解不等式|2x-1|＜|x|+1．

Answer 1

分析：（1）由矩阵的线性变换列出关于x和y的一元二次方程组，求出方程组的解集即可得到点A的坐标；可设出矩阵M的逆矩阵，根据逆矩阵的定义得到逆矩阵与矩阵M的乘积等于单位矩阵，得到一个一元二次方程组，求出方程组的解集即可得到M的逆矩阵；
（2）把圆的参数方程化为普通方程后，找出圆心坐标与半径，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d与半径r比较大小得到直线与圆的位置关系，即可得到交点的个数；
（3）分三种情况x大于等于

1

2

，x大于等于0小于

1

2

和x小于0，分别化简绝对值后，求出解集，即可得到原不等式的解集．三个题中任选两个作答即可．

解答：解：（1）由题意可知

.

2 -3 1 -1

.

（x，y）=（13，5），即

2x-3y=13 x-y=5

，
解得

x=2 y=-3

，所以A（2，-3）；
设矩阵M的逆矩阵为

.

a b c d

.

，则

.

a b c d

.

•

.

2 -3 1 -1

.

=

.

1 0 0 1

.

，即

2a+b=1 3a+b=0

，
且

2c+d=0 -3c-d=1

，解得a=-1，b=3，c=-1，d=2
所以矩阵M的逆矩阵为

.

-1 3 -1 2

.

；
（2）把圆的参数方程化为普通方程得（x+1）²+（y-2）²=4，圆心（-1，2），半径r=2
则圆心到已知直线的距离d=

|-3+8-12|

32+42

=

7

5

＜2=r，得到直线与圆的位置关系是相交，
所以直线与圆的公共点有两个；
（3）当x≥

1

2

时，原不等式变为：2x-1＜x+1，解得x＜2，所以原不等式的解集为[

1

2

，2）；
当0≤x＜

1

2

时，原不等式变为：1-2x＜x+1，解得x＞0，所以原不等式的解集为[0，

1

2

）；
当x＜0时，原不等式变为：1-2x＜-x+1，解得x＞0，所以原不等式无解．
综上，原不等式的解集为[0，2）．

点评：此题考查学生会求矩阵的逆矩阵及掌握矩阵的线性变换，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，掌握直线与圆的位置关系的判断方法，会利用讨论的方法求绝对值不等式的解集，是一道综合题．