Question

设函数f（x）=，其中向量=（cos，sin） （x∈R），向量=（cosϕ，sinϕ）（|ϕ|＜），f（x）的图象关于直线x=对称．
（Ⅰ）求ϕ的值；
（Ⅱ）若函数y=1+sin的图象按向量=（m，n） （|m|＜π）平移可得到函数y=f（x）的图象，求向量．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）通过向量的数量积，求出函数的关系式，利用对称轴直接求出ϕ的值；
（Ⅱ）若函数y=1+sin的图象按向量=（m，n） （|m|＜π）平移，求出函数的解析式，利用与函数y=f（x）的图象相同，求向量．另解：通过函数y=f（x）逆向推出函数，使得与函数y=1+sin的图象相同，求出向量．
解答：解：（Ⅰ）f（x）==coscosϕ+sinsinϕ=cos（-ϕ），
∵f（x）的图象关于直线x=对称，
∴，
∴，k∈Z，又|ϕ|＜，∴ϕ=．
（Ⅱ）f（x）=cos（-）=sin（+）=sin（x+），
由y=1+sin平移到y=sin（x+），只需向左平移单位，
再向下平移1个单位，考虑到函数的周期为π，且=（m，n） （|m|＜π），
∴，n=-1，即=（-，-1）．
另解：f（x）=cos（-）=sin（+）=sin（x+），
由平移到，只要即，
∴=（-，-1）．
点评：本题是一道三角函数与平面向量相结合的综合问题，既考查了三角函数的变形以及三角函数的图象与性质，又考查了运用平面向量进行图象平移的知识．