Question

（2013•中山一模）某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到15一O.1x万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万套）成反比，比例系数为l0．假设不计其它成本，即销售每套丛书的利润=售价 一 供货价格．问：
（I）每套丛书定价为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？
（Ⅱ）每套丛书定价为多少元时，单套丛书的利润最大？

Answer 1

分析：（Ⅰ）先确定每套丛书定价为100元时的销售量，从而可得时每套供货价格，根据销售每套丛书的利润=售价 一 供货价格，可求得书商能获得的总利润；
（Ⅱ）先确定每套丛书售价范围，再确定单套丛书利润，利用基本不等式，可求单套丛书的利润最大值．

解答：解：（Ⅰ）每套丛书定价为100元时，销售量为15-0.1×100=5万套，
此时每套供货价格为30+

10

5

=32元，（3分）
∴书商所获得的总利润为5×（100-32）=340万元． （4分）
（Ⅱ）每套丛书售价定为x元时，由

15-0.1x＞0 x＞0

得，0＜x＜150，（5分）
依题意，单套丛书利润P=x-(30+

10

15-0.1x

)=x-

100

150-x

-30（7分）
∴P=-[(150-x)+

100

150-x

]+120，
∵0＜x＜150，∴150-x＞0，
由　(150-x)+

100

150-x

≥2

(150-x)• 100 150-x

=2×10=20，（10分）
当且仅当150-x=

100

150-x

，即x=140时等号成立，此时P_max=-20+120=100．
答：（Ⅰ）当每套丛书售价定为100元时，书商能获得总利润为340万元；（Ⅱ）每套丛书售价定为140元时，单套利润取得最大值100元． （12分）

点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，解题的关键是建立单套丛书利润函数，再利用基本不等式确定其最值．