Question

11．已知函数f（x）=x³+ax²-3x-1．
（1）当a=-4时，求函数f（x）的单调递减区间；
（2）已知g（x）=-3x+1，若f（x）与g（x）的图象有三个不同交点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）设G（x）=f（x）-g（x）=x³+ax²-2，求出函数的导数，通过讨论a的范围，判断函数G（x）的单调性，从而求出函数G（x）的极大值和极小值，问题转化为函数G（x）有3个不同的零点，求出a的范围即可．

解答 解：（1）a=-4时，f′（x）=（3x+1）（x-3），
由f′（x）≤0，解得：-$\frac{1}{3}$≤x≤3，
∴函数f（x）的单调递减区间是[-$\frac{1}{3}$，3]；
（2）设G（x）=f（x）-g（x）=x³+ax²-2，
∴G′（x）=x（3x+2a），
由G′（x）=0，解得：x=0或x=-$\frac{2a}{3}$，
①a＞0时，在（-∞，-$\frac{2a}{3}$）上，G′（x）＞0，
在（-$\frac{2a}{3}$，0）上，G′（x）＜0，在（0，+∞）上，G′（x）＞0，
∴G（x）在（-∞，-$\frac{2a}{3}$），（0，+∞）递增，在（-$\frac{2a}{3}$，0）递减，
∴G（x）_极大值=G（-$\frac{2a}{3}$）=$\frac{4}{27}$a³-2，G （x）_极小值=G（0）=-2，
f（x）与g（x）的图象有三个不同交点等价于函数G（x）有3个不同的零点，
∴$\frac{4}{27}$a³-2＞0，解得：a＞$\frac{3}{2}$$\root{3}{4}$；
②a＜0时，在（-∞，0）上，G′（x）＞0，在（0，-$\frac{2a}{3}$）上，G′（x）＜0，
在（-$\frac{2a}{3}$，+∞）上，G′（x）＞0，
∴G（x）在（-∞，0），（-$\frac{2a}{3}$，+∞）递增，在（0，-$\frac{2a}{3}$）递减，
∴G（x）_极大值=G（0）=-2，G（x）_极小值=G（-$\frac{2a}{3}$）=$\frac{4}{27}$a³-2，
由于G（x）_极大值＜0，故G（x）只有1个零点，不合题意；
③a=0时，在R上，G′（x）≥0，
∴G（x）在R递增，
∴G（x）只有1个零点，不合题意；
综上，a的范围是（$\frac{3}{2}$$\root{3}{4}$，+∞）．

点评 本题考查了应用导数求函数的单调区间和极值，考查应用意识和运算求解能力以及数形结合思想．