Question

设函数f（x）=x²-mlnx，h（x）=x²-x+a
（Ⅰ） 当a=0时，f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；
（Ⅱ） 当m=2时，若函数g（x）=f（x）-h（x）在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由a=0，我们可以由f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立，得到-mlnx≥-x，即m≤

x

lnx

在（1，+∞）上恒成立，构造函数φ=

x

lnx

，求出函数的最小值，即可得到实数m的取值范围；
（Ⅱ） 当m=2时，我们易求出函数g（x）=f（x）-h（x）的解析式，由方程的根与对应函数零点的关系，易转化为x-2lnx=a，在[1，3]上恰有两个相异实根，利用导数分析函数的单调性，然后根据零点存在定理，构造关于a的不等式组，解不等式组即可得到答案．

解答：解：（I）由a=0，f（x）≥h（x）可得-mlnx≥-x，即m≤

x

lnx

记φ=

x

lnx

，则f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立等价于m≤φ（x）_min．（3分）
求得φ′(x)=

lnx-1

ln2x

（4分）
当x∈（1，e）时；φ′（x）＜0；当x∈（e，+∞）时，φ′（x）＞0（5分）
故φ（x）在x=e处取得极小值，也是最小值，
即φ（x）_min=φ（e）=e，故m≤e．（6分）
（II）函数k（x）=f（x）-h（x）在[1，3]上恰有两个不同的零点等价于方程x-2lnx=a，
在[1，3]上恰有两个相异实根．（7分）
令g（x）=x-2lnx，则g′(x)=1-

2

x

（8分）
当x∈[1，2）时，g′（x）＜0，当x∈（2，3]时，g′（x）＞0
g（x）在[1，2]上是单调递减函数，在（2，3]上是单调递增函数．
故g（x）_min=g（2）=2-2ln2（10分）
又g（1）=1，g（3）=3-2ln3
∵g（1）＞g（3），
∴只需g（2）＜a≤g（3），（12分）
故a的取值范围是（2-2ln2，3-2ln3]（13分）

点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值，函数的零点，其中（I）的关键是构造函数，将问题转化为函数恒成立问题，（II）的关键是利用导数分析函数的单调性后，进而构造关于a的不等式组．