Question

设动点P(x,y)(x≥0)到定点F的距离比到y轴的距离大.记点P的轨迹为曲线C.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)设圆M过A(1,0),且圆心M在P的轨迹上,BD是圆M在y轴上截得的弦,当M运动时弦长BD是否为定值?说明理由;
(3)过F作互相垂直的两直线交曲线C于G、H、R、S,求四边形GRHS面积的最小值.

Answer 1

(1) y²=2x  (2) BD=2,即弦长BD为定值   (3)8

解:(1)由题意知,所求动点P(x,y)的轨迹为以F为焦点,直线l:x=-为准线的抛物线,其方程为y²=2x.
(2)是定值.解法如下:设圆心M,
半径r=,
圆的方程为+(y-a)²=a²+,
令x=0,得B(0,1+a),D(0,-1+a),
∴BD=2,即弦长BD为定值.
(3)设过F的直线GH的方程为y=k,G(x₁,y₁),H(x₂,y₂),
由得k²x²-(k²+2)x+=0,
∴x₁+x₂=1+,x₁x₂=,
∴|GH|=·=2+,
同理得|RS|=2+2k².
S_{四边形GRHS}=(2+2k²)= 2≥8(当且仅当k=±1时取等号).
∴四边形GRHS面积的最小值为8.