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如图,已知椭圆,直线的方程为,过右焦点的直线与椭圆交于异于左顶点两点,直线交直线分别于点

(1)当时,求此时直线的方程;

(2)试问两点的纵坐标之积是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.

 

 

(1);(2)两点的纵坐标之积为定值.

【解析】

试题分析:(1)讨论①当直线的斜率不存在时,确定得到,又

不满足;

②当直线的斜率存在时,设方程为

代入椭圆

应用韦达定理研究,解得 求得直线的方程;

(2)的方程为的方程:联立

确定 同理得

从而.

讨论不存在、存在的两种情况,得出结论.

(1)①当直线的斜率不存在时,由可知方程为

代入椭圆

不满足 2分

②当直线的斜率存在时,设方程为

代入椭圆 3分

4分

故直线的方程; 6分

(2)的方程为的方程:联立

得: 同理得 8分

不存在时, 9分

存在时, 12分

两点的纵坐标之积为定值 13分

考点:椭圆的几何性质,直线方程,直线与圆锥曲线的位置关系,分类讨论思想.

 

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