Question

如图，有两条相交成60°角的直路XX′，YY′，交点为O，甲、乙分别在OX，OY上，起初甲离O点3km，乙离O点1km，后来甲沿XX′的方向，乙沿Y′Y的方向，同时以4km/h的速度步行．
（1）起初两人的距离是多少？
（2）t小时后两人的距离是多少？
（3）什么时候两人的距离最短，并求出最短距离．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：应用题,解三角形

分析：（1）在△ABC中，由已知及余弦定理即可求AB的值；
（2）设t小时后，甲由A运动到C，乙由B运动到D，连接CD，分情况讨论：当0＜t≤0.75或t＞0.75时，由余弦定理即可分别求CD的值；
（3）由CD=

48t2-24t+7

=

48(t- 1 t )2+4

（t≥0）即可求得t=

1

4

时两人的距离最短，最短距离为2km．

解答： 解：设甲乙两人起初所在的位置分别为A，B，连接AB．
（1）在△ABC中，由余弦定理可得：AB=

1+9-2×1+3+cos60°

=

7

（km）…3分
（2）设t小时后，甲由A运动到C，乙由B运动到D，连接CD，
当0＜t≤0.75时，CD=

(3-4t)2+(1+4t)2-2(3-4t)(1+4t)cos60°

=

48t2-24t+7

…7分
当t＞0.75时，在△OCD中，OD=1+4t，OC=4t-3，∠DOC=120°，
CD=

(4t-3)2+(1+4t)2-2(4t-3)(1+4t)cos120°

=

48t2-24t+7

…11分
∴t小时后，甲乙两人的距离为

48t2-24t+7

km…12分
（3）∵CD=

48t2-24t+7

=

48(t- 1 t )2+4

（t≥0）
∴t=

1

4

时两人的距离最短，最短距离为2km…16分

点评：本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，正确分析实际问题中的边角关系是解题的关键，属于中档题．