Question

如果集合A具以下性质：
①0∈A，1∈A；②若x，y∈A，则x-y∈A，且当x≠0时，

1

x

∈A，则称集合A是“差、倒运算封闭集”．
（1）试判断集合B={-1，0，1}是否为“差、倒运算封闭集”，说明理由．
（2）设集合是“差、倒运算封闭集”，求证：
①若x，y∈A，则x+y∈A；
②若x∈A，且x（x-1）≠0，则

1

x(x-1)

∈A．
（3）若集合M是一个“差、倒运算封闭集”，试判断下面命题：“若x，y∈M”，则xy∈M“的真假，并说明理由．

Answer 1

考点：元素与集合关系的判断

专题：计算题,集合

分析：由差、倒运算封闭集知，
（1）-1-1=-2∉B，故不是；
（2）利用差、倒运算封闭集的定义证明；
（3）由x（x-1）+x∈M，即x²∈M．同理可得y²∈M；从而得到2xy=（x+y）²-x²-y²∈M，从而得到

1

2xy

∈M，从而判断．

解答： 解：（1）∵-1-1=-2∉B，∴集合B={-1，0，1}不是“差、倒运算封闭集”，
（2）证明：①∵集合A是“差、倒运算封闭集”，
∴0-y=-y∈A，
故x-（-y）=x+y∈A；
②∵x∈A，∴x-1∈A，
∴x（x-1）∈A，又∵x（x-1）≠0，
∴

1

x(x-1)

∈A；
（3）x（x-1）+x∈M，即x²∈M．同理可得y²∈M．
若x+y=0或x+y=1，则显然（x+y）²∈M．
若x+y≠0且x+y≠1，则（x+y）²∈M．
∴2xy=（x+y）²-x²-y²∈M．
∴

1

2xy

∈M．

1

xy

=

1

2xy

+

1

2xy

∈M．
∴xy∈M．
故命题为真命题．

点评：本题考查了集合的化简与运算的定义及学生对新定义的接受能力，属于基础题．