Question

2．已知椭圆C中心在原点，焦点在x轴上，一条经过点$（3，-\sqrt{5}）$且倾斜角余弦值为$-\frac{2}{3}$的直线l交椭圆于A，B两点，交x轴于M点，又$\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MB}$．
（1）求直线l的方程；
（2）求椭圆C长轴的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0，π），利用同角三角函数基本关系式可得tanθ，再利用点斜式即可得出．
（2）设$y=-\frac{{\sqrt{5}}}{2}（x-1）$与椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），与x轴交于M（1，0），由$\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MB}$知：y₁=-2y₂．直线方程代入椭圆方程可得$（\frac{4}{5}{b^2}+{a^2}）{y^2}-\frac{4}{{\sqrt{5}}}{b^2}y+{b^2}（1-{a^2}）=0$，△＞0，再利用根与系数的关系即可得出．

解答 解：（1）设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0，π），
∵cosθ=$-\frac{2}{3}$，∴$sinθ=\sqrt{1-co{s}^{2}θ}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴tanθ=-$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
又直线l经过点$（3，-\sqrt{5}）$，
∴直线l的方程为$y=-\frac{{\sqrt{5}}}{2}（x-1）$．
（2）设$y=-\frac{{\sqrt{5}}}{2}（x-1）$与椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），与x轴交于M（1，0），
由$\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MB}$知：y₁=-2y₂．
将$x=-\frac{2}{{\sqrt{5}}}y+1$代入b²x²+a²y²=a²b²，得$（\frac{4}{5}{b^2}+{a^2}）{y^2}-\frac{4}{{\sqrt{5}}}{b^2}y+{b^2}（1-{a^2}）=0$，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{{y_1}+{y_2}=\frac{{\frac{4}{{\sqrt{5}}}{b^2}}}{{\frac{4}{5}{b^2}+{a^2}}}=-{y_2}}\\{{y_1}{y_2}=\frac{{{b^2}（1-{a^2}）}}{{\frac{4}{5}{b^2}+{a^2}}}=-2{y_2}^2}\end{array}}\right.$①
∵$△={（\frac{4}{{\sqrt{5}}}{b^2}）^2}-4（\frac{4}{5}{b^2}+{a^2}）{b^2}（1-{a^2}）＞0$，∴5a²+4b²＞5②
由①消去y₂得$32{b^2}=（4{b^2}+5{a^2}）（{a^2}-1）⇒4{b^2}=\frac{{5{a^2}（{a^2}-1）}}{{9-{a^2}}}＞0$，③
③代入②得$5{a^2}+\frac{{5{a^2}（{a^2}-1）}}{{9-{a^2}}}＞5$，∴1＜a²＜9，
又a²＞b²，∴$4{b^2}=\frac{{5{a^2}（{a^2}-1）}}{{9-{a^2}}}＜4{a^2}$，
综合解得$1＜{a^2}＜\frac{41}{9}$，
∴$1＜a＜\frac{{\sqrt{41}}}{3}$，
∴椭圆C长轴的取值范围为$（2，\frac{{2\sqrt{41}}}{3}）$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质，解决该试题的关键是能利用已知中的点和斜率来借助于点斜式方程表示出直线的方程，同时能结合直线与椭圆的相交，联立方程组，进而结合韦达定理和判别式来求解表示出长轴长，借助于参数a的范围得到所求，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．