Question

4．已知函数f（x²-1）=log_m$\frac{x^2}{{2-{x^2}}}$．
（1）求f（x）的解析式并判断f（x）的奇偶性；
（2）解关于 x的不等式 f（x）≤0．

Answer 1

分析 （1）利用换元法以及函数奇偶性的定义即可求f（x）的解析式并判断f（x）的奇偶性；
（2）利用对数函数的性质即可解不等式f（x）≤0．

解答 解：（1）设x²-1=t（t≥-1），则${x^2}=t+1，f（t）={log_m}\frac{1+t}{1-t}，t∈（{-1，1}）$，
∴$f（x）={log_m}\frac{1+x}{1-x}，x∈（{-1，1}）$，
设x∈（-1，1），则-x∈（-1，1），
∴$f（{-x}）={log_m}\frac{{1+（{-x}）}}{{1-（{-x}）}}=-{log_m}\frac{1+x}{1-x}=-f（x）$，
∴f（x）为奇函数；
（2）由${log_m}\frac{1+x}{1-x}≥0（*）$可知，当m＞1时，$0＜\frac{1+x}{1-x}≤1$，
解得：-1＜x≤0；
当0＜m＜1时，$\frac{1+x}{1-x}≥1$，
解得0≤x＜1；
当m＞1时，不等式组的解集为{x|-1＜x≤0}，
当0＜m＜1时，不等式组的解集为{x|0≤x＜1}．

点评 本题主要考查函数解析式的求解以及函数奇偶性的判断，根据对数函数的性质是解决本题的关键．