Question

两城市A和B相距20km，现计划在两城市外以AB为直径的半圆弧

AB

上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y，统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，当垃圾处理厂建在

AB

的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065．
（1）将y表示成x的函数；
（2）判断弧

AB

上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据“垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，”建立函数模型：y=

4

x2

+

k

400-x2

，再根据当x=10

2

时，y=0.065，求得参数k．
（2）总影响度最小，即为：求y=

4

x2

+

9

400-x2

=

5(x2+320)

-x4+400x2

的最小值时的状态．令t=x²+320，将函数转化为：y=

5

-(t+ 230400 t )+1040

，再用基本不等式求解．

解答：解：（1）由题意得y=

4

x2

+

k

400-x2

，
又∵当x=10

2

时，y=0.065，
∴k=9
∴y=

4

x2

+

9

400-x2

(x∈(0，20))（7分）
（2）y=

4

x2

+

9

400-x2

=

5(x2+320)

-x4+400x2

，
令t=x²+320∈（320，720），
则y=

5

-(t+ 230400 t )+1040

≥

1

16

，当且仅当t=480即x=4

10

时，等号成立．（14分）
∴弧

AB

上存在一点，该点到城A的距离为4

10

时，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小为0.0625．（16分）

点评：本题主要考查函数模型的建立和应用，主要涉及了换元法，基本不等式法和转化思想的考查．