Question

17．函数$f（x）={（\frac{1}{3}）^{\sqrt{1-{x^2}}}}$的单调增区间是[0，1]，值域为$[{\frac{1}{3}，1}]$．

Answer 1

分析 根据复合函数单调性之间的关系以及指数函数的性质进行求解．

解答 解：设t=$\sqrt{1-{x}^{2}}$，
由1-x²≥0得-1≤x≤1，
则函数t=$\sqrt{1-{x}^{2}}$在[0，1]上为减函数，∵y=（$\frac{1}{3}$）^t，为减函数，
∴根据复合函数单调性之间的关系知函数f（x）此时为增函数，
故函数f（x）的增区间为[0，1]，
∵t=$\sqrt{1-{x}^{2}}$∈[0，1]，y=（$\frac{1}{3}$）^t，为减函数，
∴$\frac{1}{3}$≤f（x）≤1，
即函数的值域为$[{\frac{1}{3}，1}]$，
故答案为：[0，1]，$[{\frac{1}{3}，1}]$

点评 本题主要考查指数型函数的单调性以及值域的求解，根据复合函数单调性之间的关系结合指数函数的性质是解决本题的关键．