Question

若定义在[-2011，2011]上的函数f（x）满足：对于任意x₁，x₂∈[-2011，2011]有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-2011，且x＞0时，f（x）＞2011，f（x）的最大值与最小值分别为M、N，则M+N的值

1. A.
   2010
2. B.
   2011
3. C.
   4020
4. D.
   4022

Answer 1

D
分析：利用赋值法，f（0）=2f（0）-2011可求f（0），然后令x₁=2011，x₂=-2011可求f（2011）+f（-2011），结合已知设x₁＜x₂，先证明函数的f（x）的单调性，进而可求函数的最大值与最小值
解答：∵对于任意x₁，x₂∈[-2011，2011]有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-2011，
∴f（0）=2f（0）-2011
∴f（0）=2011
令x₁=2011，x₂=-2011
∴f（0）=f（2011）+f（-2011）-2011
∴f（2011）+f（-2011）=4022
设x₁＜x₂∈[-2011，2011]
则x₂-x₁＞0
∵x＞0时，f（x）＞2011，
∴f（x₂-x₁）＞2011
∴f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₂-x₁）+f（x₁）-2011＞f（x₁）
∴函数f（x）在[-2011，2011]上单调递增
∴f（x）的最大值与最小值分别为M=f（2011）、N=f（-2011）
则M+N=f（2011）+f（-2011）=4022
故选D
点评：本题主要考查了抽象函数的单调性的判断及应用，赋值法在求解函数最值中的应用，属于函数知识的综合应用