已知、
为椭圆
的左右焦点,点
为其上一点,且有
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过的直线
与椭圆
交于
、
两点,过
与
平行的直线
与椭圆
交于
、
两点,求四边形
的面积
的最大值.
(1);(2)
.
解析试题分析:(1)设椭圆的标准方程为
,先利用椭圆定义得到
的值并求出
的值,然后将点
的坐标代入椭圆方程求出
的值,最终求出椭圆
的方程;(2)根据平行四边形的几何性质得到
,即先求出
的面积的最大值,先设直线
的方程为
,且
、
,将此直线的方程与椭圆
的方程联立,结合韦达定理将
的面积表示成只含
的表达式,并利用换元法将代数式进行化简,最后利用基本不等式并结合双勾函数的单调性来求出
面积的最大值,从而确定平行四边形
面积的最大值.
(1)设椭圆的标准方程为
,
由已知得
,
,
又点在椭圆上,
,
椭圆的标准方程为
;
(2)由题意可知,四边形为平行四边形
,
设直线的方程为
,且
、
,
由得
,
,
,
,
,
令,则
,
,
又在
上单调递增,
,
的最大值为
,
所以的最大值为
.
考点:1.椭圆的定义与方程;2.直线与椭圆的位置关系;3.韦达定理;4.基本不等式
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知圆的圆心在坐标原点
,且恰好与直线
相切,设点A为圆上一动点,
轴于点
,且动点
满足
,设动点
的轨迹为曲线
(1)求曲线C的方程,
(2)直线l与直线l,垂直且与曲线C交于B、D两点,求△OBD面积的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆:
(
)过点
,且椭圆
的离心率为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若动点在直线
上,过
作直线交椭圆
于
两点,且
为线段
中点,再过
作直线
.求直线
是否恒过定点,如果是则求出该定点的坐标,不是请说明理由。
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设椭圆C1:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为为
,
恰是抛物线C2:
的焦点,点M为C1与C2在第一象限的交点,且|MF2|=
.
(1)求C1的方程;
(2)平面上的点N满足,直线l∥MN,且与C1交于A,B两点,若
,求直线l的方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
给定椭圆.称圆心在原点O,半径为
的圆是椭圆C的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为
,其短轴上的一个端点到F的距离为
.
(1)求椭圆C的方程和其“准圆”方程;
(2)点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点,过动点P作直线,使得
与椭圆C都只有一个交点,试判断
是否垂直?并说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆的中心在原点,焦点在
轴上,椭圆上的点到焦点的最小距离为
,离心率
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线交
于
、
两点,点
,问是否存在
,使
?若存在求出
的值,若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆的长轴长为
,离心率为
,
分别为其左右焦点.一动圆过点
,且与直线
相切.
(1)(ⅰ)求椭圆的方程;(ⅱ)求动圆圆心轨迹
的方程;
(2)在曲线上有四个不同的点
,满足
与
共线,
与
共线,且
,求四边形
面积的最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,已知平面内一动点到两个定点
、
的距离之和为
,线段
的长为
.
(1)求动点的轨迹
;
(2)当时,过点
作直线
与轨迹
交于
、
两点,且点
在线段
的上方,线段
的垂直平分线为
①求的面积的最大值;
②轨迹上是否存在除
、
外的两点
、
关于直线
对称,请说明理由.
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