Question

定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足f（xy）=f（x）+f（y），且当x＞1时，f（x）＜0．
（1）求f（1）；
（2）证明f（x）在（0，+∞）上单调递减；
（3）若关于x的不等式f（k•3^x）-f（9^x-3^x+1）≥f（1）恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）令x=y=1，根据定义在（0，+∞）上的函数f（x）恒有f（xy）=f（x）+f（y），我们易构造关于f（1）的方程，解方程即可求出求f（1）；   
（2）根据已知中定义在（0，+∞）上的函数f（x）恒有f（xy）=f（x）+f（y），并且x＞1时，f（x）＜0恒成立，结合函数单调性的证明方法--作差法（定义法）我们即可得到f（x）在（0，+∞）上单调递减；
（3）结合（1）、（2）的结论，我们可将不等式f（k•3^x）-f（9^x-3^x+1）≥f（1）转化为一个指数不等式，进而利用换元法可将问题转化为一个二次不等式恒成立问题，解答后即可得到满足条件的实数k的取值范围．

解答：解：（1）∵f（xy）=f（x）+f（y），
令x=y=1，
则F（1）=2f（1）
∴f（1）=0；           （5分）
证明：（2）由f（xy）=f（x）+f（y）
可得f(

y

x

)=f(y)-f(x)，
设x₁＞x₂＞0，f(x1)-f(x2)=f(

x1

x2

)，

x1

x2

＞1，
∴f(

x1

x2

)＜0，即f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂），所以f（x）在（0，+∞）上单调递减；（10分）
（3）因为f（k•3^x）-f（9^x-3^x+1）≥f（1），
所以f（k•3^x）≥f（9^x-3^x+1），由（2）得

k•3x≤9x-3x+1 k•3x＞0

（*）恒成立，
令t=3^x＞0，则（*）可化为t²-（k+1）t+1≥0对任意t＞0恒成立，且k＞0，
∴（k+1）²-4≤0
∴0＜k≤1．（15分）

点评：本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数单调性的性质，其中（1）的关键是“凑配”思想的应用，（2）的关键是将f（xy）=f（x）+f（y），变型为f（xy）-f（y）=f（x），从而得到f（x₁）-f（x₂）=f（

x2

x1

），（3）的关键是利用（1）（2）的结论对不等式f（k•3^x）-f（9^x-3^x+1）≥f（1）进行变形．