Question

已知两个向量

a

，

b

满足|

a

|=2，|

b

|=1，

a

，

b

的夹角为60°，

m

=2x

a

+7

b

，

n

=

a

+x

b

，x∈R．
（1）若

m

，

n

的夹角为钝角，求x的取值范围；
（2）设函数f（x）=

m

•

n

，求f（x）在[-1，1]上的最大值与最小值．

Answer 1

分析：（1）先确定

a

•

b

的值，再由

m

，

n

的夹角为钝角可知

m

•

n

＜0，代入即可解题．
（2）根据（1）中

m

•

n

的值确定函数f（x）的解析式，再根据二次函数的单调性求出在[-1，1]上的最大值与最小值．

解答：解：（1）

a

•

b

=|a||b|cos60°=2×1×cos60°=1，

m

，

n

的夹角为钝角，得

m

•

n

＜0，且

m

≠λ

n

∴

m

•

n

=（2x

a

+7

b

）•（

a

+x

b

）=2x

a

²+2

a

•

b

+2x²

a

•

b

+7

b

²
=8x+2x²+7+7x
=2x²+15x+7＜0
解得-7＜x＜-

1

2

，

m

≠λ

n

可得

2x≠λ 7≠λx

，解得x≠-

14

2

∴x的取值范围是(-7，-

14

2

)∪(-

14

2

，-

1

2

)；
（2）由（1）得f(x)=2x2+15x+7=2(x+

15

4

)2-

169

8

，f（x）在[-1，1]上单调递增，
∴f（x）_min=f（-1）=2-15+7=-6，f（x）_max=f（1）=2+15+7=24．

点评：本题主要考查向量的点乘运算和二次函数的最值问题．属基础题．