【题目】已知函数
.
（1）讨论函数
的单调区间；
（2）证明：
.
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
(1)
,分
和
两种情况讨论单调性即可；(2)法一：将不等式
变形为
，构造函数
，证明
即可；法二：将不等式变形为
，分别设
，求导证明
即可.
(1) 
，
当时，
，函数
的单调增区间为
，无减区间；
当时，
，当
，
，
单增区间为
上增，单调减区间为
上递减。
(2)解法1： 
，即证，令，
，
，令
，
，
在，上单调递增，
，
，故存在唯一的
使得
，
)在
上单调递减，在
上单调递增，
，
，
当
时，
， 
时，
； 所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
，得证.
解法2：要证： 
，即证： ，令
，
，当时，
，时，
；所以在上单调递减，在上单调递增， 
； 令
，
，，当
时，，
时，
； 所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
，
，
，得证.
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【题目】已知椭圆
(
)的焦距为2，椭圆
的左右焦点分别为
，过右焦点作
轴的垂线交椭圆于
两点，
.
（1）求椭圆的方程；
（2）过右焦点作直线交椭圆于
两点，若△
的内切圆的面积为
，求△的面积；
（3）已知
，
为圆上一点(在
轴右侧)，过作圆的切线交椭圆于
两点，试问△
的周长是否为一定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.
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【题目】2018年9月，台风“山竹”在我国多个省市登陆，造成直接经济损失达52亿元.某青年志愿者组织调查了某地区的50个农户在该次台风中造成的直接经济损失，将收集的数据分成五组：
，
，
，
，
（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图.
（1）试根据频率分布直方图估计该地区每个农户的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）台风后该青年志愿者与当地政府向社会发出倡议，为该地区的农户捐款帮扶，现从这50户并且损失超过4000元的农户中随机抽取2户进行重点帮扶，设抽出损失超过8000元的农户数为
，求的分布列和数学期望.
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【题目】某企业甲,乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为
和
,现安排甲组研发新产品
,乙组研发新产品
.设甲,乙两组的研发是相互独立的.
(1)求至少有一种新产品研发成功的概率;
(2)若新产品
研发成功,预计企业可获得
万元,若新产品
研发成功,预计企业可获得利润
万元,求该企业可获得利润的分布列和数学期望.
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【题目】设O为坐标原点，动点M在椭圆C：
上，该椭圆的左顶点A到直线
的距离为
．
求椭圆C的标准方程；
若线段MN平行于y轴，满足
，动点P在直线
上，满足
证明：过点N且垂直于OP的直线过椭圆C的右焦点F．
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【题目】为增强学生体质，合肥一中组织体育社团，某班级有4人积极报名参加篮球和足球社团，每人只能从两个社团中选择其中一个社团，大家约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己参加哪个社团，掷出点数为5或6的人参加篮球社团，掷出点数小于5的人参加足球社团．
（1）求这4人中恰有1人参加篮球社团的概率；
（2）用
，
分别表示这4人中参加篮球社团和足球社团的人数，记随机变量X为和之差的绝对值，求随机变量X的分布列与数学期望
．
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【题目】设f(x)是定义在区间(1，+∞)上的函数，其导函数为
.如果存在实数a和函数h(x)，其中h(x)对任意的x∈(1，+∞)都有h(x)>0，使得=h(x)(x2-ax+1)，则称函数f(x)具有性质P(a).
(1)设函数
，其中b为实数.
①求证：函数f(x)具有性质P(a).②求函数f(x)的单调区间.
(2)已知函数g(x)具有性质P(2)，给定x1，x2∈(1，+∞)，x1<x2.设m为实数， 
，且
.若
，求实数m的取值范围
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【题目】已知椭圆
：
的离心率
，短轴的一个端点到焦点的距离为
.
（1）求椭圆的方程；
（2）斜率为
的直线
与椭圆交于
，
两点，线段
的中点在直线
上，求直线与
轴交点纵坐标的最小值.
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