Question

4．已知各项均为正数的两个数列{a_n}和{b_n}满足：a_n+1=$\frac{{a}_{n}+{b}_{n}}{\sqrt{{a}_{n}^{2}+{b}_{n}^{2}}}$，b_n+1=1+$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$，n∈N^*，
（1）求证：数列{（$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$）²}是等差数列；
（2）若a₁=b₁=1令（$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$）²=$\frac{1}{{c}_{n}}$，若S_n=C₁C₂+C₂C₃+…+C_nC_n+1，求S_n；
（3）在（2）的条件下，设d_n=$\frac{3-{S}_{n-1}}{1-\sqrt{11}（1-{S}_{n-1}）}$，若d_n≤2m-1，对于任意的n∈N₊恒成立，求正整数m的最小值．

Answer 1

分析 （1）由条件求得$\frac{{b}_{n+1}}{{a}_{n+1}}$=$\sqrt{1+（\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}）^{2}}$，可得（$\frac{{b}_{n+1}}{{a}_{n+1}}$）²-（$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$）²=1，由等差数列的定义，即可得证；
（2）运用等差数列的通项公式，可得（$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$）²=1+（n-1）=n，可得c_n=$\frac{1}{n}$，再由$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，运用数列的求和方法：裂项相消求和，即可得到所求和；
（3）化简可得d_n=2+$\frac{2\sqrt{11}+1}{n-\sqrt{11}}$，讨论当n∈（-∞，$\sqrt{11}$）时，d_n单调递减；当n∈（$\sqrt{11}$，+∞）时，d_n单调递减，且n为正整数．可得（d_n）_max=d₄，由恒成立思想，解m的不等式，即可得到m的最小值．

解答 解：（1）证明：由b_n+1=1+$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n}+{b}_{n}}{{a}_{n}}$，
可得a_n+1=$\frac{{a}_{n}+{b}_{n}}{\sqrt{{a}_{n}^{2}+{b}_{n}^{2}}}$=$\frac{{b}_{n+1}}{\sqrt{1+（\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}）^{2}}}$，
即$\frac{{b}_{n+1}}{{a}_{n+1}}$=$\sqrt{1+（\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}）^{2}}$，
可得（$\frac{{b}_{n+1}}{{a}_{n+1}}$）²-（$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$）²=（$\sqrt{1+（\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}）^{2}}$）²-（$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$）²=1（n∈N^*），
则数列{（$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$）²}是以1 为公差的等差数列；
（2）$\frac{{b}_{1}}{{a}_{1}}$=1，由（1）知，公差为1，
即有（$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$）²=1+（n-1）=n，
可得c_n=$\frac{1}{n}$，
故S_n=C₁C₂+C₂C₃+…+C_nC_n+1=$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$；
（3）d_n=$\frac{3-{S}_{n-1}}{1-\sqrt{11}（1-{S}_{n-1}）}$
=$\frac{3-\frac{n-1}{n}}{1-\sqrt{11}（1-\frac{n-1}{n}）}$=$\frac{2n+1}{n-\sqrt{11}}$=2+$\frac{2\sqrt{11}+1}{n-\sqrt{11}}$，
当n∈（-∞，$\sqrt{11}$）时，d_n单调递减；
当n∈（$\sqrt{11}$，+∞）时，d_n单调递减，且n为正整数．
则（d_n）_max=d₄=$\frac{36+9\sqrt{11}}{5}$≤2m-1，
可得m≥$\frac{41+9\sqrt{11}}{10}$，
由m为正整数，可得m的最小值为8．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，注意运用构造法和等差数列的定义，考查数列的求和方法：裂项相消求和，同时考查数列不等式恒成立问题的解法，注意运用数列的单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．