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【题目】已知函数

(Ⅰ)求的极值;

(Ⅱ)当时,设,求证:曲线存在两条斜率为且不重合的切线.

【答案】(Ⅰ)极小值;(Ⅱ)证明见解析.

【解析】分析:(Ⅰ)对a分类讨论,利用导数求函数的极值. (Ⅱ)先把问题转化为曲线在点处的切线不重合,再利用反证法证明.

详解:(Ⅰ)

,得

时,符号相同

变化时,的变化情况如下表:

极小

时,符号相反

变化时,的变化情况如下表:

极小

综上,处取得极小值.

(Ⅱ)

注意到

所以,,使得

因此,曲线在点处的切线斜率均为.

下面,只需证明曲线在点处的切线不重合.

曲线在点)处的切线方程为假设曲线在点)处的切线重合,则

,则,且.

由(Ⅰ)知,当时,

所以,在区间上单调递减,于是有矛盾.

因此,曲线在点()处的切线不重合

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