Question

已知正数x，y满足（1+x）（1+2y）=2，则4xy+

1

xy

的最小值是

 

．

Answer 1

分析：通过换元，化简函数式，利用基本不等式求出最小值．

解答：解：设m=x+1 n=2y+1 所以mn=2
x=1-m，y=

1-n

2

4xy+

1

xy

=2（m-1）（n-1）+

2

(m-1)(n-1)

=2（（mn-m-n+1）+

1

mn-m-n+1

）
=2（（3-m-n）+

1

3-m-n

）
∵m+n≥2

mn

=2

2

∴原式的最小值为12
方法二：
∵（1+x）（1+2y）=2，
∴1+x+2y+2xy=2
即x+2y=1-2xy≥2

2xy

令

2xy

=t＞则xy=

t2

2

即1-t²≥2t 则0＜t≤

2

-1，则0＜t²=2xy≤3-2

2

不妨令u=2xy∈（0，3-2

2

]
则4xy+

1

xy

=2u+

2

u

，在区间（0，3-2

2

]上单调递减
故当u=3-2

2

时4xy+

1

xy

取最小值12
故答案为：12

点评：本题考查利用基本不等式求函数的最值，需要注意满足的条件：一正、二定、三相等．