Question

如图，公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上.

（1）设AD＝x（x≥0），ED＝y，求用x表示y的函数关系式；

（2）（i）如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？请予证明.

(ii)如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？请予证明.

Answer 1

（1）在△ADE中，y²＝x²＋AE²－2x·AE·cos60°y²＝x²＋AE²－x·AE,①

又S_△ADE＝ S_△ABC＝a²＝x·AE·sin60°x·AE＝2.②

②代入①得y²＝x²＋－2（y＞0）, ∴y＝（1≤x≤2）

（2）(i)如果DE是水管y＝≥,

当且仅当x²＝，即x＝时“＝”成立，故DE∥BC，且DE＝.

(ii)如果DE是参观线路，记f（x）＝x²＋，可知

函数在[1，]上递减，在[，2]上递增，

故f（x） _max＝f（1）＝f（2）＝5.  ∴y _max＝.

即DE为AB中线或AC中线时，DE最长.