Question

已知函数f (x)＝x³＋(1－a)x²－3ax＋1，a＞0．
(Ⅰ) 证明：对于正数a，存在正数p，使得当x∈[0，p]时，有－1≤f (x)≤1；
(Ⅱ) 设(Ⅰ)中的p的最大值为g(a)，求g(a)的最大值．

Answer 1

(Ⅰ)先利用导数求出单调区间，再分情况证明；
(Ⅱ)

试题分析：
(Ⅰ) 由于f ′(x)＝3x²＋3(1－a)x－3a＝3(x＋1)(x－a)，且a＞0，
故f (x)在[0，a]上单调递减，在[a，＋∞)上单调递增．
又f (0)＝1，f (a)＝－a³－a²＋1＝(1－a)(a＋2) ²－1．
当f (a)≥－1时，取p＝a．
此时，当x∈[0，p]时有－1≤f (x)≤1成立．
当f (a)＜－1时，由于f (0)＋1＝2＞0，f (a)＋1＜0，
故存在p∈(0，a)使得f (p)＋1＝0．
此时，当x∈[0，p]时有－1≤f (x)≤1成立．
综上，对于正数a，存在正数p，使得当x∈[0，p]时，有－1≤f (x)≤1．             7分
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知f (x)在[0，＋∞)上的最小值为f (a)．
当0＜a≤1时，f (a)≥－1，则g(a)是方程f (p)＝1满足p＞a的实根，
即2p²+3(1－a)p－6a＝0满足p＞a的实根，所以
g(a)＝．
又g(a)在(0，1]上单调递增，故g(a)_max＝g(1)＝．
当a＞1时，f (a)＜－1．
由于f (0)＝1，f (1)＝(1－a)－1＜－1，故[0，p]Ì [0，1]．
此时，g(a)≤1．
综上所述，g(a)的最大值为．                                               15分
点评：研究函数的性质往往离不开导数，导数是研究函数性质的有力工具，要灵活运用；另外，函数如果含参数，一般离不开分类讨论，分类讨论时要做到不重不漏.