Question

12．观察规律猜想下列数列的通顶公式：
（1）0，1，0，1，0，1…
（2）0.9，0.99，0.999，0.9999，…
（3）1，3，6，10，15，21，…

Answer 1

分析 （1）利用${a}_{2k}=1+（-1）^{2k}$，a_2k-1=1+（-1）^2k-1即可得出；
（2）0.9，0.99，0.999，0.9999，…，变形为1-0.1，1-0.01，1-0.001，…，利用等比数列的通项公式即可得出．
（3）1，3，6，10，15，21，…，3-1=2，6-3=3，10-6=4，…．利用：a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁即可得出．

解答 解：（1）0，1，0，1，0，1…，可得a_n=$\frac{1+（-1）^{n}}{2}$；
（2）0.9，0.99，0.999，0.9999，…，变形为1-0.1，1-0.01，1-0.001，…，∴a_n=1-$（\frac{1}{10}）^{n}$．
（3）1，3，6，10，15，21，…，3-1=2，6-3=3，10-6=4，…．
可得：a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=n+（n-1）…+2+1
=$\frac{n（n+1）}{2}$．

点评 本题考查了数列的通项公式、等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了观察推理能力与计算能力，属于中档题．