Question

13．已知A（-2，-2），B（-2，6），C（4，-2），点P在圆x²+y²=4上运动，求|PA|²+|PB|²+|PC|²的最值．

Answer 1

分析 设P（a，b），则|PA|²+|PB|²+|PC|²=3a²+3b²-4b+68，利用消元法结合不等式的性质即可求出|PA|²+|PB|²+|PC|²的最大值和最小值．

解答 解：∵点P在圆x²+y²=4上运动，
∴设P（a，b），
则a²+b²=4，
a²=4-b²≥0，
∴b²≤4，
∴-2≤b≤2．
则|PA|²+|PB|²+|PC|²=（a+2）²+（b+2）²+（a+2）²+（b-6）²+（a-4）²+（b+2）²=3a²+3b²-4b+68，
∴把a²=4-b²代入3a²+3b²-4b+68=12-3b²+3b²-4b+68=-4b+80，
∵-2≤b≤2，
∴-8≤-4b≤8
80-8≤80-4b≤80+8，
72≤-4b+80≤88
∴最大值是88，最小值是72，
∴|PA|²+|PB|²+|PC|²的最大值为88，最小值为72．

点评 本题主要考查两点间距离公式的应用，结合不等式的性质是解决本题的关键．