Question

8．若不等式e^x≥kx-k对x＞1恒成立，则实数k的最大值是（　　）

• A． e²
• B． e
• C． $\frac{1}{e}$
• D． 1

Answer 1

分析 不等式e^x≥kx-k对x＞1恒成立，即为k≤$\frac{{e}^{x}}{x-1}$对x＞1恒成立，令f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x-1}$，求出导数，求得单调区间和极小值，也为最小值，由恒成立思想即可得到k的最大值．

解答 解：不等式e^x≥kx-k对x＞1恒成立，即为
k≤$\frac{{e}^{x}}{x-1}$对x＞1恒成立，
令f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x-1}$，f′（x）=$\frac{{e}^{x}•（x-2）}{（x-1）^{2}}$，
当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）递增，
当1＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）递减．
即有x=2处f（x）取得极小值，也为最小值，且为e²，
则有k≤e²．
则k的最大值为e²．
故选：A．

点评 本题考查不等式的恒成立问题，注意运用参数分离和导数求最值，考查运算能力，属于中档题．