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8.若不等式ex≥kx-k对x>1恒成立,则实数k的最大值是(  )
A.e2B.eC.$\frac{1}{e}$D.1

分析 不等式ex≥kx-k对x>1恒成立,即为k≤$\frac{{e}^{x}}{x-1}$对x>1恒成立,令f(x)=$\frac{{e}^{x}}{x-1}$,求出导数,求得单调区间和极小值,也为最小值,由恒成立思想即可得到k的最大值.

解答 解:不等式ex≥kx-k对x>1恒成立,即为
k≤$\frac{{e}^{x}}{x-1}$对x>1恒成立,
令f(x)=$\frac{{e}^{x}}{x-1}$,f′(x)=$\frac{{e}^{x}•(x-2)}{(x-1)^{2}}$,
当x>2时,f′(x)>0,f(x)递增,
当1<x<2时,f′(x)<0,f(x)递减.
即有x=2处f(x)取得极小值,也为最小值,且为e2
则有k≤e2
则k的最大值为e2
故选:A.

点评 本题考查不等式的恒成立问题,注意运用参数分离和导数求最值,考查运算能力,属于中档题.

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