Question

【题目】如图所示，某街道居委会拟在EF地段的居民楼正南方向的空白地段AE上建一个活动中心，其中AE长为30米．活动中心东西走向，与居民楼平行．从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD，上部分是以DC为直径的半圆．为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE不超过2.5米，其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足tan θ＝.

（1）若设计AB＝18米，AD＝6米，问能否保证上述采光要求？

（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB与AD的长度，可使得活动中心的截面面积最大？ (注：计算中π取3)

Answer 1

【答案】（1）能 （2）当AB＝20米且AD＝5米时，可使得活动中心的截面面积最大．

【解析】

（1）以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．设太阳光线所在直线方程为y=x+b，利用直线与圆相切，求出直线方程，令x=30，得EG=1.5米＜2.5米，即

可得出结论；（2）欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG恰为2.5米，即可求出截面面积最大.

解：如图，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．

（1）因为AB＝18米，AD＝6米，

所以半圆的圆心为H(9,6)，半径r＝9.

设太阳光线所在直线方程为y＝－x＋b，

即3x＋4y－4b＝0，则由＝9，

解得b＝24或b＝ (舍)．

故太阳光线所在直线方程为y＝－x＋24,

令x＝30，得EG＝1.5＜2.5.

所以此时能保证上述采光要求．

（2）设AD＝h米，AB＝2r米，

则半圆的圆心为H(r，h)，半径为r.

方法一　设太阳光线所在直线方程为y＝－x＋b，

即3x＋4y－4b＝0，

由＝r，解得b＝h＋2r或b＝h－ (舍)．

故太阳光线所在直线方程为y＝－x＋h＋2r，

令x＝30，得EG＝2r＋h－，

由EG≤，得h≤25－2r.

所以S＝2rh＋πr2＝2rh＋×r2≤2r(25－2r)＋×r2

＝－r2＋50r＝－(r－10)2＋250≤250.

当且仅当r＝10时取等号．

所以当AB＝20米且AD＝5米时，

可使得活动中心的截面面积最大．

方法二　欲使活动中心内部空间尽可能大，

则影长EG恰为2.5米，则此时点G为(30,2.5)，

设过点G的上述太阳光线为l1，

则l1所在直线方程为y－＝－(x－30)，

即3x＋4y－100＝0.

由直线l1与半圆H相切，得r＝.

而点H(r，h)在直线l1的下方，则3r＋4h－100＜0，

即r＝－，从而h＝25－2r.

又S＝2rh＋πr2＝2r(25－2r)＋×r2＝－r2＋50r＝－(r－10)2＋250≤250.当且仅当r＝10时取等号．

所以当AB＝20米且AD＝5米时，

可使得活动中心的截面面积最大．