Question

将一块圆心角为120°，半径为20 cm的扇形铁片截成一块矩形，如图，有2种裁法：让矩形一边在扇形的一半径OA上或让矩形一边与弦AB平行，请问哪种裁法能得到最大面积的矩形，并求出这个最大值．

Answer 1

分析：对甲种裁法分析设∠MOA=θ，则矩形的一边为20sinθ，一边为20cosθ，则得出面积，利用正弦函数取最值的方法求出最大面积；对乙种裁法分析设∠MOA=α利用三角函数表示出长为40sin（60°-α），再用相似三角形求得宽，进而表示出面积，利用余弦函数取最大值的方法求出最大面积．比较看哪个面积大即可．

解答：解：对图甲，设∠MOA=θ，则S₁=200sin2θ．
∴当θ=45°时，（S₁）_max=200cm²．
对图乙，设∠MOA=α，
则S₂=

800 3

3

[cos（2α-60°）-cos60°]．
当α=30°时，（S₂）_max=

400 3

3

cm²．
∵

400 3

3

＞200，
∴用乙种方法好．

点评：考查学生根据实际问题选择函数类型的能力，以及运用两角和与差的正弦函数的能力，求正弦函数最值的能力．