Question

已知椭圆E与双曲线

x2

3

-y²=1焦点相同，且过点（2，

5

3

），
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）直线AB和直线CD均过原点且互相垂直，若A，B，C，D四点都在椭圆E上，求四边形ACBD面积S的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（I）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，由椭圆与双曲线

x2

3

-y²=1有相同的焦点可得c值，由函数图象过点（2，

5

3

）可解得a，b的值，从而得椭圆E的方程；
（II）分两类讨论：①若A，B，C，D为椭圆E的顶点，易求S，②设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），直线AB：y=kx（k≠0），则直线CD：y=-

1

k

x，由

x2 9 + y2 5 =1 y=kx

得（5+9k²）x²=45，可求|AB|，|CD|，由S=

1

2

|AB||CD|即可求得面积S的取值范围．

解答： 解：（I）由题可设椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），其中a²-b²=4，

4

a2

+

25

9b2

=1，解得a²=9，b²=5，
即椭圆E的方程为

x2

9

+

y2

5

=1；                                  …（4分）
（ II）由题意，分两类讨论：①若A，B，C，D为椭圆E的顶点，则S=6

5

，…（6分）
②设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），直线AB：y=kx（k≠0），则直线CD：y=-

1

k

x，
由

x2 9 + y2 5 =1 y=kx

得（5+9k²）x²=45，故有|AB|=2

45(1+k2) 5+9k2

，同理，|CD|=2

45(1+k2) 9+5k2

，
S=

1

2

|AB||CD|=6

5

45(1+k2)2 (9+5k2)(5+9k2)

=6

5

1- 16k2 45k4+106k2+45

=6

5

1- 16 45k2+106+ 45 k2

(k≠0)．
∵45k²+

45

k2

≥90，S∈[

90

7

，6

5

），
由①②，四边形ACBD面积S的取值范围是[

90

7

，6

5

）（用其他方法解答的请酌情给分）     …（12分）

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解，考查平面向量的基本运算，解决（II）问的关键是恰当表示出三角形的面积，属于中档题．