Question

15．设函数f（x）的导函数为f′（x），且2 f'（x）＜f （x）（x∈R），f（2）=e （e为自然对数的底数），则不等式f （lnx）＞x${\;}^{\frac{1}{2}}$的解集为（0，e²）．

Answer 1

分析 构造函数F（x），求出导数，判断F（x）在R上的单调性．原不等式等价为F（lnx）＞F（2），运用单调性，可得lnx＜2，运用对数不等式的解法，即可得到所求解集．

解答 解：可构造函数F（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{\frac{x}{2}}}$，
F′（x）=$\frac{f′（x）-\frac{1}{2}f（x）}{{e}^{\frac{x}{2}}}$，
由2 f'（x）＜f （x），可得F′（x）＜0，即有F（x）在R上递减，
不等式f（lnx）＞x${\;}^{\frac{1}{2}}$即为 $\frac{f（lnx）}{{e}^{\frac{lnx}{2}}}$＞1，（x＞0），
即有F（2）=$\frac{f（2）}{e}$=1，即为F（lnx）＞F（2），
由F（x）在R上递减，可得lnx＜2，解得0＜x＜e²，
故答案为：（0，e²）．

点评 本题考查导数的运用：求单调性，考查构造法的运用，以及单调性的运用，对数不等式的解法．