Question

已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且经过A(-2，0)，B(1，

3

2

)两点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若椭圆E的左、右焦点分别是F、H，过点H的直线l：x=my+1与椭圆E交于M、N两点，则△FMN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设椭圆E的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由椭圆E经过A（-2，0）、B(1，

3

2

)两点，知

4 a2 =1 1 a2 + 9 4b2 =1

，由此能求出椭圆E的方程．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），设y₁＞0，y₂＜0，设△FMN的内切圆的半径为R，则S_△FMN=4R，当S_△FMN最大时，R也最大，△FMN的内切圆的面积也最大，由此能求出△FMN的内切圆的面积的最大值及直线l的方程．

解答：解：（1）设椭圆E的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
∵椭圆E经过A（-2，0）、B(1，

3

2

)两点，
∴

4 a2 =1 1 a2 + 9 4b2 =1

，
∴a²=4，b²=3
∴椭圆E的方程为

x2

4

+3=1．…（6分）
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），设y₁＞0，y₂＜0，
如图，设△FMN的内切圆的半径为R，
则S_△FMN=

1

2

（|MN|+|MF|+|NF|）R
=

1

2

[（|MF|+|MH|）+（|NF|+|NH|）]R=4R，
当S_△FMN最大时，R也最大，△FMN的内切圆的面积也最大，
∵S_△FMN=

1

2

|FH||y₁|+

1

2

|FH||y₂|，|FH|=2c=2，
∴S_△FMN=|y₁|+|y₂|=y₁-y₂．
由

x=my+1 x2 4 + y2 3 =1

，得（3m²+4）y²+6my-9=0，
则△=（6m）²+4×9（3m²+4）＞0恒成立，
y1+y2=

-6m

3m2+4

，y1•y2=

-9

3m2+4

∴y1-y2=

(y1+y2)2-4y2y2

=

( -6m 3m2+4 )2-4× -9 3m2+4

=

12 m2+1

3m2+4

，
∴S△FMN=

12 m2+1

3m2+4

…（10分）
设

m2+1

=t，则t≥1，且m²=t-1，
∴S△FMN=

12t

3(t-1)2+4

=

12t

3t2+1

，
设f(t)=

12t

3t2+1

，则f′(t)=

12-36t2

(3t2+1)2

，
∵t≥1，∴f'（t）＜0，
∴函数f（t）在[1，+∞）上是单调减函数，
∴f（t）_max=f（1）=3，即S_△FMN的最大值是3．
∴4R≤3，R≤

3

4

，即R的最大值是

3

4

，
∴△FMN的内切圆的面积的最大值是

9π

16

，
此时m=0，直线l的方程是x=1．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查三角形内切圆面积最大值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．