Question

（2010•宝山区模拟）已知坐标平面上的直线与x，y轴分别相交于A（3，0），B（0，3）两点，点C（cosα，sinα），其中

π

2

＜α＜

3π

2

．
（1）若|

AC

|=|

BC

|，求角α的值；
（2）若

AC

•

BC

=-1，求sin2α的值．

Answer 1

分析：（1）先求出

AC

和

BC

的坐标，根据|

AC

|=|

BC

|化简可得cosα=sinα，再由α的范围求出α的值．
（2）根据

AC

•

BC

=-1，化简可得 （cosα+sinα ）=

2

3

，再平方可得sin2α 的值．

解答：解：（1）∵|

AC

|=|

BC

|，

AC

=（cosα-3，sinα ），

BC

=（cosα，sinα-3），
∴（cosα-3）²+sin²α=cos²α+（sinα-3）²．
化简可得 cosα=sinα．
又

π

2

＜α＜

3π

2

，∴α=

5π

4

．
（2）

AC

•

BC

=-1，则 （cosα-3）cosα+sinα （sinα-3）=-1，
化简可得 （cosα+sinα ）=

2

3

．
平方可得 1+sin2α=

4

9

，∴sin2α=-

5

9

．

点评：本题主要考查两个向量坐标形式的运算，求向量的模的方法，二倍角公式的应用，属于基础题．