Question

已知P是抛物线x²=4y上的一个动点，则点P到直线l₁：4x-3y-7=0和l₂：y+2=0的距离之和的最小值是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：根据题意，设P的坐标为（a，

1

4

a²），利用点到直线的距离公式分别算出P到直线l₁的距离d₁=

1

5

（

3

4

a²-4a+7）和P到直线l₂的距离d₂=

1

4

a²+2，得到d₁+d₂关于a的二次函数式，利用二次函数的性质可求出d₁+d₂的最小值，从而得到答案．

解答：解：由P是抛物线x²=4y上的动点，设点P的坐标为（a，

1

4

a²），
∴点P到直线l₁：4x-3y-7=0的距离d₁=

|4a- 3 4 a2 -7|

42+(-3)2

=

|4a- 3 4 a2-7|

5

，
点P到直线l₂：y+2=0的距离d₂=

1

4

a²+2．
由此可得两个距离之和为
d₁+d₂=

|4a- 3 4 a2-7|

5

+a²+2=

1

5

（

3

4

a²-4a+7）+

1

4

a²+2=

2

5

a²-

4

5

a+

17

5

=

2

5

（a-2）²+3，
∴当a=2时，d₁+d₂的最小值是3，即所求两个距离之和的最小值是3．
故选：C

点评：本题给出抛物线上的动点P，求P到两条直线l₁、l₂的距离之和的最小值，着重考查了点到直线的距离公式、抛物线的简单几何性质和二次函数的性质等知识，属于中档题．