Question

定义在R⁺上的函数f（x）满足：
（1）存在a＞1，使f（a）≠0；
（2）对任意的实数b，有f（x^b）=bf（x）．若方程f（mx）•f（mx²）=4f²（a）的所有解大于1，求m的取值范围．

Answer 1

分析：令t=x^b，则b=log_xt，可得log_xt=

f(t)

f(x)

，进而根据方程f（mx）•f（mx²）=4f²（a）的所有解大于1，我们可以得到2log_a²x+3log_am•log_ax+log_a²m-4=0的所有解大于1，令u=log_ax，则u²x+3log_am•u+log_a²m-4=0的所有解大于0，结合韦达定理，可以构造一个关于m的不等式组，解不等式组，即可得到答案．

解答：解：令t=x^b，则b=log_xt，
则f（t）=log_xt•f（x）
即log_xt=

f(t)

f(x)

若f（mx）•f（mx²）=4f²（a）的所有解大于1，
则

f(mx)

f(a)

•

f(mx 2)

f(a)

-4=0的所有解大于1，
即log_a（mx）•log_a（mx²）-4=0的所有解大于1，
即2log_a²x+3log_am•log_ax+log_a²m-4=0的所有解大于1，
令u=log_ax，由a＞1，
则u²x+3log_am•u+log_a²m-4=0的所有解大于0
由韦达定理可得

log am＜0 log   2 a m-4＞0

解得：0＜m≤

1

a   2

故m的取值范围为（0，

1

a   2

]

点评：本题考查的知识点是函数与议程的综合应用，抽象函数的应用，其中根据已知条件，得到log_xt=

f(t)

f(x)

，从而将抽象问题具体化，是解答本题的关键．