Question

（理）设斜率为k₁的直线L交椭圆C：于A、B两点，点M为弦AB的中点，直线OM的斜率为k₂（其中O为坐标原点，假设k₁、k₂都存在）．
（1）求k₁?k₂的值．
（2）把上述椭圆C一般化为
（a＞b＞0），其它条件不变，试猜想k₁与k₂关系（不需要证明）．请你给出在双曲线（a＞0，b＞0）中相类似的结论，并证明你的结论．
（3）分析（2）中的探究结果，并作出进一步概括，使上述结果都是你所概括命题的特例．
如果概括后的命题中的直线L过原点，P为概括后命题中曲线上一动点，借助直线L及动点P，请你提出一个有意义的数学问题，并予以解决．

Answer 1

【答案】分析：（1）设直线方程为y=k₁x+b，代入椭圆方程，根据方程的根与系数关系求弦中点M的坐标为，代入可得，从而可求
（法二）（利用点差法）设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中点M（x，y），由与作差得 =可求
（2）已知斜率为K₁的直线L交双曲线（a＞0，b＞0）于A，B两点，点M 为弦AB的中点，直线OM的斜率为k₂（其中O为坐标原点，假设K₁、k₂都存在）．
则k₁，k₂?的值为
（解一）设直线方程为y=k₁x+d，代入（（a＞0，b＞0）方程并整，根据方程的根与系数的关系代入可求
（解二）设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中点中点M（x，y）由点A，B在双曲线上，则利用点差法可求
（3）对（2）的概括：设斜率为k₁的直线L交二次曲线C：mx²+ny²=1（mn≠0）于A，B两点，点M为弦AB的中点，直线OM的斜率为k₂（其中O为坐标原点，假设k₁，k₂、都存在），则．
解答：（解一）：（1）设直线方程为y=k₁x+b，代入椭圆方程并整理得：（1+2k₁²）x²+4k₁bx+2b²-2=0，（2分）
，又中点M在直线上，所以
从而可得弦中点M的坐标为，，所以．（4分）
（解二）设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中点M（x，y） 则，
=，   （2分）
又与作差得  =
所以             （4分）
（2）对于椭圆，  （6分）
已知斜率为K₁的直线L交双曲线（a＞0，b＞0）于A，B两点，点M 为弦AB的中点，直线OM的斜率为k₂（其中O为坐标原点，假设K₁、k₂都存在）．
则k₁，k₂?的值为． （8分）
（解一）设直线方程为y=k₁x+d，代入（（a＞0，b＞0）方程并整理得：（b²-a²k₁²）x²-2k₁a²dx-（ad）²-（ab）²=0
，
所以==， （2分），即     （10分）
（解二）设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中点中点M（x，y）
则，，=， （2分）
又因为点A，B在双曲线上，则
与作差得
==k₁k₂    即 （10分）
（3）对（2）的概括：设斜率为k₁的直线L交二次曲线C：mx²+ny²=1（mn≠0）于A，B两点，点M为弦AB的中点，直线OM的斜率为k₂（其中O为坐标原点，假设k₁，k₂、都存在），则．（12分）
提出问题与解决问题满分分别为（3分），提出意义不大的问题不得分，解决问题的分值不得超过提出问题的分值．
提出的问题例如：直线L过原点，P为二次曲线线mx²+ny²=1（mn≠0）上一动点，设直线L交曲线于A，B两点，当P异于A，B两点时，如果直线PA，PB的斜率都存在，则它们斜率的积为与点P无关的定值．（15分）
解法1：设直线方程为y=kx，A，B两点坐标分别为（x₁，y₁）、（-x₁，-y₁），则y₁=kx₁
把y=kx代入mx²+ny²=1得（m+nk²）x²=1，
K_PA•K_PB==，
所以K_PA•K_PB===（18分）
提出的问题的例如：直线L：y=x，P为二次曲线mx²+ny²=1（mn≠0）上一动点，设直线L交曲线于A，B两点．试问使∠APB=30°的点P是否存在？（13分）
问题例如：1）直线L过原点，P为二次曲线线mx²+ny²=1（mn≠0）上一动点，设直线L交曲线于A，B两点，求PA+PB的值．
2）直线l过原点，P为二次曲线mx²+ny²=1（mn≠0）上一动点，设直线L交曲线于A，B两点，求S_△PAB的最值．
点评：本题主要考查了直线与曲线的相交关系的应用，解题的关键是能够由椭圆的性质归纳推理 到一般的曲线方程，及较强的逻辑推理的运算能力