Question

（2012•香洲区模拟）有一个各棱长均为1的正四棱锥，先用一张正方形包装纸将其完全包住，不能剪裁，可以折叠，那么包装纸的最小面积为

2+

3

．

Answer 1

分析：本题考查的是四棱锥的侧面展开问题．在解答时，首先要将四棱锥的四个侧面沿底面展开，观察展开的图形易知包装纸的对角线处在什么位置时，包装纸面积最小，进而获得问题的解答．

解答：解：由题意可知：当正四棱锥沿底面将侧面都展开时如图所示：
当以PP′为正方形的对角线时，
所需正方形的包装纸的面积最小，此时边长最小．
设此时的正方形边长为x则：（PP′）²=2x²，
又因为 PP′=1+2×

3

2

=1+

3

，
∴（1+

3

）2=2x2，
解得：x=

6 + 2

2

．
包装纸的最小面积S=x²=（

6 + 2

2

）²=2+

3

．
故答案为：2+

3

．

点评：本题考查的是棱锥的结构特征、四棱锥的侧面展开问题．在解答的过程当中充分体现了侧面展开的处理问题方法、图形的观察和分析能力以及问题转化的思想．值得同学们体会反思．