Question

4．已知x+y=2（x＞0，y＞0），则${x^2}+{y^2}+4\sqrt{xy}$的最大值为6．

Answer 1

分析 利用配方法，结合二次函数的图象与性质，即可求出${x^2}+{y^2}+4\sqrt{xy}$的最大值．

解答 解：∵x＞0，y＞0，x+y=2，
∴2≥2$\sqrt{xy}$，
∴0＜xy≤1，当且仅当x=y=1时取“=”；
∴${x^2}+{y^2}+4\sqrt{xy}$=（x+y）²-2xy+4$\sqrt{xy}$
=2²-2${（\sqrt{xy}-1）}^{2}$+2=6-2${（\sqrt{xy}-1）}^{2}$≤6，
即${x^2}+{y^2}+4\sqrt{xy}$的最大值是6．
故答案为：6．

点评 本题考查了基本不等式的应用问题，是基础题目．