Question

【题目】设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，准线为l，AB为过焦点F且垂直于x轴的抛物线C的弦，已知以AB为直径的圆经过点(-1，0).

（1）求p的值及该圆的方程；

（2）设M为l上任意一点，过点M作C的切线，切点为N，证明：MF⊥NF.

Answer 1

【答案】（1）p=2. (x-1)2+y2=4.（2）见解析

【解析】

（1）根据题意知，点的坐标为(，±p)，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列出关于的方程，求出，求得圆心F和直径即可；

（2）易知直线MN的斜率存在且不为0，设M(-1，y0)，MN的方程为y=k(x+1)+y0与抛物线方程联立得到关于的一元二次方程，由判别式得到的关系式，将的表达式代入关于的一元二次方程和抛物线方程得到点的坐标，利用平面向量垂直的坐标表示求解即可.

（1）由题意知，点的坐标为(，±p)，

因为以AB为直径的圆经过点(-1，0)，

所以p=-(-1)，解得p=2，

所以所求圆的圆心为直径AB的中点F(1，0)，直径，

所以所求圆的方程为(x-1)2+y2=4.

（2）证明：易知直线MN的斜率存在且不为0，

设M(-1，y0)，MN的方程为y=k(x+1)+y0，代入C的方程，

得ky2-4y+4(y0+k)=0，

令Δ=16-16k(y0+k)=0，得y0+k=，

所以ky2-4y+4(y0+k)==0，解得y=，

将y=代入C的方程，得x=，即N点的坐标为().，

所以=(-2，y0)，=(-1，)，

·=2-+y0·=2-+(-k)·=0，

故MF⊥NF.