Question

7．已知函数f（x）=a（lnx-x）-3（a∈R，a≠0）的图象在点（2，f（2））处的切线斜率为1．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若对任意t∈[0，1]，函数g（x）=x³+x²（$\frac{m}{2}$+f′（x））在区间（t，2）上总存在极值，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）点（2，f（2））处的切线的斜率为1，即f′（2）=1，可求a值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可，
（2）求出g（x）的解析式，由t∈[0，1]，且g（x）在区间（t，2）上总存在极值，得到关于m的不等式组，于是可求m的范围．

解答 解：∵f（x）=a（lnx-x）-3，x＞0，
∴f′（x）=a（$\frac{1}{x}$-1），f′（2）=-$\frac{a}{2}$=1，解得a=-2，
∴f（x）=-2lnx+2x-3，f′（x）=$\frac{2（x-1）}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增；
（2）g（x）=x³+（$\frac{m}{2}$+2）x²-2x，
∴g′（x）=3x²+（m+4）x-2
∵g（x）在区间（t，2）上总存在极值，且g′（0）=-2
∴$\left\{\begin{array}{l}{g′（t）＜0}\\{g′（2）＞0}\end{array}\right.$，
由题意知：对于任意的t∈[0，1]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：$\left\{\begin{array}{l}{g′（0）=-2＜0}\\{g′（1）＜0}\\{g′（2）＞0}\end{array}\right.$，∴-9＜m＜-5．
∴当m∈（-9，-5）内取值时对于任意的t∈[0，1]，
函数g（x）=x³+x²[$\frac{m}{2}$+f′（x）]在区间（t，2）上总存在极值．

点评 本题考查利用函数的导数来求函数的单调区间，以及已知函数曲线上一点求曲线的切线方程，考查求导公式的掌握情况，含参数的数学问题的处理，构造函数求解证明不等式问题．