试题分析:先求出p,q为真时对应的a的取值范围,然后根据“P或Q”为真命题,“P且Q”为假命题确定p,q一真一假,从而分两种情况:p真q假或p假q真两种情况研究出a的取值范围,最后求并集即可.
因为函数
的对称轴是x=2,所以f(x)在区间[-1,1]上是减函数.又函数在区间[-1,1]上存在零点,则必有
,…………………2分
即
,解得:
.
即P:
.
,或
………………………4分
又函数
在
内没有极值点,则函数
在
上是单调函数,而
,需
,解得:
即Q:
.
Q:
或
…………8分
由题设“P或Q”为真命题,“P且Q”为假命题知:p、Q一真一假…………9分
①当p真Q假时,需
得:
………………10分
②当p 假Q真时,需
得:
………………12分
综上,实数
的取值范围为
……………………13分
点评:复合命题真假判定方法:或命题是有真则真;且命题是有假则假,非命题是真假相反.