Question

【题目】设函数f（x）=xex﹣ax（a∈R，a为常数），e为自然对数的底数．
（1）若函数f（x）的任意一条切线都不与y轴垂直，求a的取值范围；
（2）当a=2时，求使得f（x）+k＞0成立的最小正整数k．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知函数f（x）的任意一条切线都不与x轴平行等价于f'（x）=0在R上无解．…

f'（x）=（x+1）ex﹣a，…

记g（x）=（x+1）ex﹣a，则g'（x）=（x+2）ex

令g'（x）=0，则x=﹣2，所以 ，…

又当x→+∞时，g（x）→+∞

所以须且只需gmin（x）＞0…

解得a＜﹣e﹣2…

（2）当a=2时，要使f（x）+k＞0恒成立，即xex﹣2x＞﹣k恒成立，…6分

令f（x）=xex﹣2x，则f'（x）=h（x）=（x+1）ex﹣2，h'（x）=（x+2）ex，

当x∈（﹣∞，﹣2）时，h'（x）＜0，函数h（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减；

当x∈（﹣2，+∞）时，h'（x）＞0，函数h（x）的（﹣2，+∞）上单调递增．…

又因为x∈（﹣∞，﹣1）时，h（x）＜0，且h（0）=﹣1＜0，h（1）=2e2﹣2＞0，

所以，存在唯一的x0∈（0，1），使得 ，…

当x∈（﹣∞，x0）时，f'（x）＜0，函数f（x）在（﹣∞，x0）上单调递减；

当x∈（x0，+∞）时，f'（x）＞0，函数f（x）在（x0，+∞）上单调递增．

所以，当x=x0时，f（x）取到最小值．…

，…

因为x0∈（0，1），所以f（x0）∈（﹣1，0），…

从而使得f（x）+k＞0恒成立的最小正整数k的值为1．…

【解析】（1）由已知函数f（x）的任意一条切线都不与x轴平行等价于f'（x）=0在R上无解，记g（x）=（x+1）ex﹣a，通过求导得到g（x）的最小值，且最小值要大于零，即可得到a的取值范围，（2）当a=2时，其恒成立可转化为xex﹣2x＞﹣k恒成立，令f（x）=xex﹣2x，通过求导，使得f（x）+k＞0恒成立的最小正整数k的值为1.
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能得出正确答案．